Produit matriciel

Définition

Soient $m$, $n$ et $p$ trois entiers naturels non nuls
Soient $A$ une matrice de format $m\times n$ et $B$ une matrice de format $n\times p$
Le produit de $A$ par $B$, noté $AB$, est la matrice de format $m\times p$ dont les colonnes correspondent au produit de $A$ par chacune des colonnes de $B$
Pour touts entiers naturels $i$ et $j$, avec $1\leqslant i\leqslant m$ et $1\leqslant j\leqslant p$, le coefficient à la ligne $i$ et à la colonne $j$ de $AB$ est égal au produit de la somme des coefficients à la $i$ème ligne de $A$ par la somme des coefficients à la $j$ème colonne de $B$, ie $$\sum^m_{k=1}a_{i,k}\times b_{k,j}$$
(Matrice, Ensemble des entiers naturels, Matrice, //Produit scalaire)
Produit matriciel : $$(AB)_{i,j}={{\sum_kA_{ik}B_{kj} }}$$

Propriétés

! Non commutativité du produit matriciel : $AB\neq BA$ (Commutativité - Symétrie)
Le produit de deux matrices peut être égal à la matrice nulle sans qu'aucune des deux matrices soit la matrice nulle (Matrice nulle)

associativité du produit matriciel : $A\times B\times C=(A\times B)\times C=A\times(B\times C)$
distributivité du produit matriciel sur l'addition de deux matrices : $A\times(B+C)=A\times B+A\times C$ et $(A+B)\times C=A\times C+B\times C$
$(kA)\times B=A\times (kB)=k(A\times B)$

(Associativité, Distributivité)

Produits matriciels particuliers

Matrice triangulaire (Produit de matrices triangulaires)

Produit avec la matrice identité

Multiplication par la matrice identité : $$A\times I_n=I_n\times A=A$$ (Matrice identité - Matrice unité)

Produit avec un vecteur

Cas particulier : $$\begin{pmatrix}a_1&a_2&a_3\\ b_1&b_2&b_3\\ c_1&c_2&c_3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix}={{x_1\begin{pmatrix}a_1\\ b_1\\ c_1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}a_2\\ b_2\\ c_2\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}a_3\\ b_3\\ c_3\end{pmatrix} }}$$

Produit de deux matrices carrées par blocs

Si le nombre de colonnes du bloc $A$ est égal au nombre de lignes du bloc $A'$ (et idem pour les autres blocs), alors on a : $${{\left(\begin{array}{c|c}A&B\\ \hline C&D\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c|c}A'&B'\\ \hline C'&D'\end{array}\right)}}={{\left(\begin{array}{c|c}AA'+BC'&AB'+BD'\\ \hline CA'+DC'&CB'+DD'\end{array}\right)}}$$
(Matrice carrée par blocs)

Produit de deux matrices carrées par blocs avec un bloc nul

Si le nombre de colonnes du bloc $A$ est égal au nombre de lignes du bloc $A'$ (et idem pour les autres blocs), alors on a : $${{\left(\begin{array}{c|c}A&B\\ \hline 0&D\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c|c}A'&B'\\ \hline 0&D'\end{array}\right)}}={{\left(\begin{array}{c|c}AA'&AB'+BD'\\ \hline 0&DD'\end{array}\right)}}$$

Notions liées

Matrice carrée
Matrices commutatives
Matrice inversible - Inversion de matrice, Matrice inverse
Produit de matrices d'applications linéaires

Math'φsics

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